Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace (PPTX) obsahovala krátké heslovité body, vzorce jako obrázky a částečně poškozené tabulky — přepsáno do souvislé podoby, vzorce do LaTeXu, čísla dopočítána a ověřena. Odkazovaný pracovní list průměr příklady.docx není součástí archivu.
Starší bratr snědl svůj oběd a také oběd svého mladšího bratra. V průměru snědl každý jeden oběd — ilustrace toho, jak snadno může jediné číslo (průměr) zavádět, pokud se použije bez rozmyslu.
Charakteristiky polohy hledají stručnou informaci o statistickém souboru — jediné číslo, které by celý soubor co nejlépe charakterizovalo. Hledáme jakýsi “střed” souboru — ale ukáže se, že středů lze najít víc a každý se hodí na něco jiného.
Aritmetický průměr
xˉ=n∑i=1nxi
Součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem jednotek souboru. U dat seskupených do tabulky četností (xi s četnostmi ni):
xˉ=∑ni∑xini
Příklad: Soubor měření výšky (viz Statistika – grafy):
| výška | 155 | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 | 185 | 190 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| četnost | 6 | 9 | 20 | 36 | 82 | 35 | 14 | 4 |
Výsledek: n=206; Σxᵢnᵢ = 155·6+160·9+165·20+170·36+175·82+180·35+185·14+190·4 = 35790; x̄ = 35790/206 ≈ 173,74 cm
Není to ale vždy nejlepší charakteristika souboru. Nejčastější chybou je aplikace aritmetického průměru tam, kde je na místě jiná statistika — např. průměrný počet ulic v české obci je 13, ale jen 31 z 6250 obcí (méně než 0,5 %) má tento průměrný počet ulic skutečně blízko. Podobně: aritmetický průměr majetku občanů v americkém městě Redmond je velmi vysoké číslo, což ale neznamená, že typický obyvatel je bohatý — odráží to jen fakt, že ve městě bydlí i multimiliardář Bill Gates (převzato z cs.wikipedia.org).
Příklad: Souborem je 20 členů družstva, znakem jejich roční příjem (v tisících Kč):
| roční příjem | 200 | 240 | 260 | 280 | 350 | 950 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| četnost | 1 | 7 | 6 | 4 | 1 | 1 |
Jaká je průměrná hodnota ročního příjmu? Kolik zaměstnanců má nadprůměrnou mzdu a kolik na průměrnou mzdu nedosáhne?
Výsledek: n=20; x̄ = (200·1+240·7+260·6+280·4+350·1+950·1)/20 = 5860/20 = 293 tis. Kč; nadprůměrných (>293): 350 a 950, tedy 2 zaměstnanci; podprůměrných (<293): 200,240(×7),260(×6),280(×4) = 1+7+6+4 = 18 zaměstnanců — 90 % souboru má tedy podprůměrný příjem, průměr zde silně zkresluje jediná extrémní hodnota (950)
Medián
Medián je prostřední hodnota seřazeného souboru. Je-li počet jednotek souboru lichý, je mediánem přímo prostřední hodnota; je-li sudý, je mediánem aritmetický průměr dvou prostředních hodnot.
Pro soubor ročních příjmů výše (20 hodnot, sudý počet) jsou desátá i jedenáctá hodnota v seřazené posloupnosti rovny 260 (obě padnou do bloku šesti hodnot 260):
Med(x)=2260+260=260 tis. Kč
Na rozdíl od aritmetického průměru (293 tis. Kč) není medián ovlivněn extrémní hodnotou 950 — lépe tak vystihuje “typického” člena souboru.
Modus
Modus je hodnota znaku s největší četností. Pro soubor ročních příjmů výše se sedmkrát vyskytuje hodnota 240 tis. Kč:
Mod(x)=240 tis. Kč
Vážený průměr
Používá se tam, kde jsou hodnoty znaku poměrná čísla, např. výnosy plodin v t/ha, hustota obyvatel na km², nebo průměrné známky tříd. Vzorec je stejný jako u aritmetického průměru z tabulky četností — jednotlivé hodnoty se váží počtem jednotek, které reprezentují:
xˉw=∑wi∑xiwi
Příklad: Ve škole jsou čtyři třídy čtvrtého ročníku, označené A, B, C, D. Průměrné známky jednotlivých tříd z matematiky jsou uvedeny v tabulce. Určete průměrnou známku z matematiky ve všech čtvrtých ročnících dohromady.
| třída | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| průměrná známka z M | 2,21 | 1,82 | 2,33 | 2,11 |
| počet žáků | 28 | 24 | 32 | 30 |
Výsledek: Σ(známka·počet) = 2,21·28+1,82·24+2,33·32+2,11·30 = 61,88+43,68+74,56+63,3 = 243,42; Σpočet = 28+24+32+30 = 114; x̄_w = 243,42/114 ≈ 2,14
Geometrický průměr
Používá se pro průměrné tempo růstu za jedno období, kdy máme posloupnost hodnot x0,x1,\dots,xn v obdobích 0,1,\dots,n a chceme průměr podílů hodnot za dvě po sobě jdoucí období. Geometrický průměr n čísel je definován jako jejich n-tá odmocnina součinu (zavádí se jen pro kladná čísla):
G=n√x1⋅x2⋯xn
Příklad: V tabulce je uveden meziměsíční růst cen určitého výrobku v průběhu roku (v % vzhledem k předchozímu období). Vypočítejte průměrný růst cen za dané období.
| měsíc | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ceny (%) | 101,5 | 103,2 | 102,6 | 105,1 | 106,2 | 102,8 | 104,6 | 108,3 | 110,9 | 104,1 | 106,8 | 107,5 |
Výsledek: G = ¹²√(1,015·1,032·1,026·1,051·1,062·1,028·1,046·1,083·1,109·1,041·1,068·1,075) ≈ 1,0527, tedy průměrný meziměsíční růst cen byl přibližně 5,27 %
Harmonický průměr
Harmonický průměr kladných hodnot x1,\dots,xn je převrácená hodnota aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:
H=∑i=1nxi1n
Používá se, když potřebujeme hodnotu zastupující ostatní z hlediska jejich převrácených hodnot — typicky při výpočtu průměrné rychlosti na úsecích stejné délky (ne stejného času!) — nebo když jsou hodnoty znaku nerovnoměrně rozloženy kolem aritmetického průměru či extrémně nízké/vysoké.
Příklad: Stezkou, která vede na vrchol hory, vystupuje turista rychlostí 2,5 km/h, při sestupu jde stejnou cestou (stejná délka trasy) rychlostí 5 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost?
Výsledek: stejná DÉLKA úseku (ne čas) → harmonický průměr: H = 2/(1/2,5+1/5) = 2/(0,4+0,2) = 2/0,6 ≈ 3,33 km/h (ne aritmetický průměr 3,75 km/h — turista stráví na pomalejším úseku více času, proto pomalejší rychlost váží víc)
Úlohy
Pracovní list průměr příklady.docx obsahuje další procvičovací příklady na jednotlivé typy průměrů.
Zdroje
CALDA, Emil, DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 2006.
Wikipedie, otevřená encyklopedie. Průměr. [cit. 2013-04-20]. Dostupné z: cs.wikipedia.org/wiki/Průměr
Český statistický úřad. Ceny, inflace. [cit. 2013-05-05]. Dostupné z: czso.cz