Kvadratická nerovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily. Text, vzorce a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované; veškeré kořeny a výsledky byly nezávisle přepočítány.

Osnova

a) pojem kvadratická nerovnice, b) způsoby řešení, c) ukázkové příklady, d) příklady na procvičení včetně řešení.

Kvadratickou nerovnicí nazýváme nerovnici v obecném tvaru ax2+bx+c>0, kde koeficienty a,b,c∈R a a=0.

Pozn.: znakem nerovnosti může být >, <, ≥, ≤.

Pozn.: řešením kvadratické nerovnice je zpravidla interval (výjimečně sjednocení intervalů, celé R, nebo prázdná množina).

Pozn.: při násobení nebo dělení záporným číslem je nutné obrátit znaménko nerovnosti.

Způsob 1 — početní (součinový tvar)

1. Nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme ji (najdeme kořeny).
2. Trojčlen rozložíme na součin a(x−x1​)(x−x2​).
3. Vyřešíme nerovnici v součinovém tvaru — použijeme pravidlo o znaménku součinu: a⋅b>0 platí právě tehdy, když (a>0 a b>0) nebo (a<0 a b<0); podobně pro a⋅b<0 atd.
4. Výsledky obou případů sjednotíme — to je konečné řešení.

Ukázkový příklad

Řešte nerovnici x(5x+1)>(x+1)2+2−5x.

Roznásobíme a převedeme vše na levou stranu: 5x2+x>x2−3x+3, tedy 4x2+4x−3>0.

Vyřešíme odpovídající rovnici 4x2+4x−3=0: D=16+48=64, x1,2​=8−4±8​, tedy x1​=−23​, x2​=21​.

Rozklad na součin: 4(x+23​)(x−21​)>0, po vydělení 4: (x+23​)(x−21​)>0.

Součin je kladný, když jsou oba činitelé kladní (x>−23​ a zároveň x>21​, tedy x>21​), nebo oba záporní (x<−23​ a zároveň x<21​, tedy x<−23​).

Výsledek: x∈(−∞;−23​)∪(21​;+∞)

Příklady na procvičení (početně)

Příklad 1: Řešte nerovnici 2−5x−3x2<0.

Výsledek:

• rovnice: −3x² − 5x + 2 = 0, D = 49, x₁ = 1/3, x₂ = −2
• součinový tvar po vydělení −3 (obrátit znaménko): (x − 1/3)(x + 2) > 0
• řešení: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1/3; +∞)

Příklad 2: Řešte nerovnici 21−29x≤(6−4x)(3−2x).

Výsledek:

• po roznásobení a úpravě: 8x² + 5x − 3 ≥ 0
• kořeny: D = 121, x₁ = 3/8, x₂ = −1
• řešení: x ∈ (−∞; −1] ∪ [3/8; +∞)

Způsob 2 — graficky

1. Nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme ji.
2. Kořeny rovnice zaneseme na osu x.
3. Zjistíme tvar grafu (podle znaménka koeficientu a).
4. Podle znaménka nerovnosti zjistíme, která část grafu (nad osou x, nebo pod ní) je řešením.
5. Zapíšeme výsledek jako interval na ose x.

Ukázkový příklad

Řešte nerovnici −3x2+7x+6<0.

Vynásobíme −1 (musíme obrátit znaménko): 3x2−7x−6>0.

Kořeny: D=49+72=121, x1​=−32​, x2​=3. Koeficient a=3>0, graf je parabola otevřená nahoru.

Hledáme část grafu nad osou x (protože řešíme „>0”): to je vlevo od x1​ a vpravo od x2​.

Výsledek: x∈(−∞;−32​)∪(3;+∞)

Příklady na procvičení (graficky)

Příklad 1: Řešte nerovnici 8x2−10x−3≤0.

Výsledek:

• kořeny: D = 196, x₁ = −1/4, x₂ = 3/2
• a = 8 > 0 (parabola nahoru), hledáme část ≤ 0, tedy mezi kořeny (včetně)
• řešení: x ∈ [−1/4; 3/2]

Příklad 2: Řešte nerovnici (x+3)(1−x)≤2x2+8x+8−5x−7.

Výsledek:

• po úpravě: −3x² − 5x + 2 ≤ 0
• kořeny: x₁ = 1/3, x₂ = −2
• a = −3 < 0 (parabola dolů), hledáme část ≤ 0, tedy mimo kořeny (včetně)
• řešení: x ∈ (−∞; −2] ∪ [1/3; +∞)

Zvláštní případy — nerovnice bez reálných kořenů

Pokud vyjde diskriminant D<0, kvadratická rovnice nemá v R žádné řešení — graf (parabola) se tedy vůbec nedotýká osy x a leží celý buď nad ní, nebo pod ní. Kvadratickou nerovnici to ale nevylučuje ze řešení: pokud víme, kam je graf vychýlený (podle znaménka a) a jaký směr nerovnosti řešíme, umíme rozhodnout, zda je řešením celé R, nebo prázdná množina ∅.

Příklad 1: Řešte nerovnici −4(3x+x2)<7x+24.

Výsledek:

• po úpravě: −4x² − 19x − 24 < 0
• diskriminant: D = 361 − 384 = −13 < 0 (rovnice nemá řešení v R)
• a = −4 < 0, graf je celý pod osou x, tedy vždy záporný — přesně to hledáme
• řešení: x ∈ R (celé R)

Příklad 2: Řešte nerovnici 3x2−7x+6<0.

Výsledek:

• diskriminant: D = 49 − 72 = −23 < 0 (rovnice nemá řešení v R)
• a = 3 > 0, graf je celý nad osou x, tedy nikdy záporný — to je opak toho, co hledáme
• řešení: ∅ (prázdná množina, nerovnice nemá řešení)

Shrnutí

• Obecný tvar kvadratické nerovnice: ax2+bx+c>0 (nebo <, ≥, ≤)
• Způsoby řešení: a) početně (součinový tvar), b) graficky
• Zvláštní případy (D < 0): řešením je buď celé R, nebo prázdná množina — podle znaménka a a směru nerovnosti

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6

HEJKRLÍK, Pavel. Sbírka řešených příkladů — rovnice a nerovnice. 1. vydání. Opava: SSŠP, spol. s r.o., 2006. ISBN 978-80-903861-0-5