Kvadratická nerovnice

Pozn. k obsahu: Zdrojová prezentace používala animované odrážky a vzorce vložené jako obrázky, které se při prvním převodu ztratily. Text, vzorce a grafy jsou zde doplněné/rekonstruované; veškeré kořeny a výsledky byly nezávisle přepočítány.

Osnova

a) pojem kvadratická nerovnice, b) způsoby řešení, c) ukázkové příklady, d) příklady na procvičení včetně řešení.

Kvadratická nerovnice

Kvadratickou nerovnicí nazýváme nerovnici v obecném tvaru $ax 2 + bx + c > 0$ , kde koeficienty $a, b, c \in R$ a $a \neq = 0$ .

Pozn.: znakem nerovnosti může být $>, <, \geq, \leq$ .

Pozn.: řešením kvadratické nerovnice je zpravidla interval (výjimečně sjednocení intervalů, celé $R$ , nebo prázdná množina).

Pozn.: při násobení nebo dělení záporným číslem je nutné obrátit znaménko nerovnosti.

Způsob 1 — početní (součinový tvar)

Nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme ji (najdeme kořeny).
Trojčlen rozložíme na součin $a (x - x 1 )(x - x 2 )$ .
Vyřešíme nerovnici v součinovém tvaru — použijeme pravidlo o znaménku součinu: $a \cdot b > 0$ platí právě tehdy, když ( $a > 0$ a $b > 0$ ) nebo ( $a < 0$ a $b < 0$ ); podobně pro $a \cdot b < 0$ atd.
Výsledky obou případů sjednotíme — to je konečné řešení.

Ukázkový příklad

Řešte nerovnici $x (5 x + 1) > (x + 1) 2 + 2 - 5 x$ .

Roznásobíme a převedeme vše na levou stranu: $5 x 2 + x > x 2 - 3 x + 3$ , tedy $4 x 2 + 4 x - 3 > 0$ .

Vyřešíme odpovídající rovnici $4 x 2 + 4 x - 3 = 0$ : $D = 16 + 48 = 64$ , $x 1,2 = 8 -4 \pm 8 $ , tedy $x 1 = - 23 , x 2 = 21 $ .

Rozklad na součin: $4 (x + 23 ) (x - 21 ) > 0$ , po vydělení 4: $(x + 23 ) (x - 21 ) > 0$ .

Součin je kladný, když jsou oba činitelé kladní ( $x > - 23 $ a zároveň $x > 21 $ , tedy $x > 21 $ ), nebo oba záporní ( $x < - 23 $ a zároveň $x < 21 $ , tedy $x < - 23 $ ).

Výsledek: $x \in (-\infty; - 23 ) \cup (21 ; +\infty)$

Příklady na procvičení (početně)

Příklad 1: Řešte nerovnici $2 - 5 x - 3 x 2 < 0$ .

Výsledek:

rovnice: −3x² − 5x + 2 = 0, D = 49, x₁ = 1/3, x₂ = −2
součinový tvar po vydělení −3 (obrátit znaménko): (x − 1/3)(x + 2) > 0
řešení: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1/3; +∞)

Příklad 2: Řešte nerovnici $21 - 29 x \leq (6 - 4 x)(3 - 2 x)$ .

Výsledek:

po roznásobení a úpravě: 8x² + 5x − 3 ≥ 0
kořeny: D = 121, x₁ = 3/8, x₂ = −1
řešení: x ∈ (−∞; −1] ∪ [3/8; +∞)

Způsob 2 — graficky

Nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme ji.
Kořeny rovnice zaneseme na osu x.
Zjistíme tvar grafu (podle znaménka koeficientu $a$ ).
Podle znaménka nerovnosti zjistíme, která část grafu (nad osou x, nebo pod ní) je řešením.
Zapíšeme výsledek jako interval na ose x.

Ukázkový příklad

Řešte nerovnici $-3 x 2 + 7 x + 6 < 0$ .

Vynásobíme −1 (musíme obrátit znaménko): $3 x 2 - 7 x - 6 > 0$ .

Kořeny: $D = 49 + 72 = 121$ , $x 1 = - 32 , x 2 = 3$ . Koeficient $a = 3 > 0$ , graf je parabola otevřená nahoru.

y = 3x² − 7x − 6

Hledáme část grafu nad osou x (protože řešíme „ $> 0$ ”): to je vlevo od $x 1 $ a vpravo od $x 2 $ .

Výsledek: $x \in (-\infty; - 32 ) \cup (3; +\infty)$

Příklady na procvičení (graficky)

Příklad 1: Řešte nerovnici $8 x 2 - 10 x - 3 \leq 0$ .

y = 8x² − 10x − 3

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

kořeny: D = 196, x₁ = −1/4, x₂ = 3/2
a = 8 > 0 (parabola nahoru), hledáme část ≤ 0, tedy mezi kořeny (včetně)
řešení: x ∈ [−1/4; 3/2]

Příklad 2: Řešte nerovnici $(x + 3)(1 - x) \leq 2 x 2 + 8 x + 8 - 5 x - 7$ .

y = −3x² − 5x + 2

Klikni pro zobrazení grafu

Výsledek:

po úpravě: −3x² − 5x + 2 ≤ 0
kořeny: x₁ = 1/3, x₂ = −2
a = −3 < 0 (parabola dolů), hledáme část ≤ 0, tedy mimo kořeny (včetně)
řešení: x ∈ (−∞; −2] ∪ [1/3; +∞)

Zvláštní případy — nerovnice bez reálných kořenů

Pokud vyjde diskriminant $D < 0$ , kvadratická rovnice nemá v $R$ žádné řešení — graf (parabola) se tedy vůbec nedotýká osy x a leží celý buď nad ní, nebo pod ní. Kvadratickou nerovnici to ale nevylučuje ze řešení: pokud víme, kam je graf vychýlený (podle znaménka $a$ ) a jaký směr nerovnosti řešíme, umíme rozhodnout, zda je řešením celé $R$ , nebo prázdná množina $\emptyset$ .

Příklad 1: Řešte nerovnici $-4(3 x + x 2) < 7 x + 24$ .

Výsledek:

po úpravě: −4x² − 19x − 24 < 0
diskriminant: D = 361 − 384 = −13 < 0 (rovnice nemá řešení v R)
a = −4 < 0, graf je celý pod osou x, tedy vždy záporný — přesně to hledáme
řešení: x ∈ R (celé R)

Příklad 2: Řešte nerovnici $3 x 2 - 7 x + 6 < 0$ .

Výsledek:

diskriminant: D = 49 − 72 = −23 < 0 (rovnice nemá řešení v R)
a = 3 > 0, graf je celý nad osou x, tedy nikdy záporný — to je opak toho, co hledáme
řešení: ∅ (prázdná množina, nerovnice nemá řešení)

Shrnutí

Obecný tvar kvadratické nerovnice: $ax 2 + bx + c > 0$ (nebo $<, \geq, \leq$ )
Způsoby řešení: a) početně (součinový tvar), b) graficky
Zvláštní případy (D < 0): řešením je buď celé $R$ , nebo prázdná množina — podle znaménka $a$ a směru nerovnosti

Zdroje

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6

HEJKRLÍK, Pavel. Sbírka řešených příkladů — rovnice a nerovnice. 1. vydání. Opava: SSŠP, spol. s r.o., 2006. ISBN 978-80-903861-0-5